Hai số hạng đầu tiên là phép xấp xỉ bậc một thông thường. Biến t không phải là ngẫu nhiên và bình phương của nó có thể được bỏ qua. Vấn đề chính nằm ở (AS)2. Số hạng này có phương sai dương. Giả sử nó có thể bỏ qua được đổng nghĩa với giả sử nó không ngẫu nhiên. Sự ngẫu nhiên xuất phát từ ∆z. Giải tích ngẫu nhiên coi số hạng này không thể bỏ qua. Bổ đề Ito, dùng để xử lý quá trình ngẫu nhiên của một hàm F(Snt) của một biến ngẫu nhiên tuân theo một trong những quá trình ngẫu nhiên thông thường, có thể giải quyết được khó khăn này. Giá cổ phiếu tuân theo một quá trình Ito, vại độ trôi và khuếch tán phụ thuộc vào giá cổ phiếu và thời gian, chúng ta tóm tắt bằng chỉ số dưới “t”
     Trong khai triển Taylor, các số hạng bậc hai phải được tính tới, sử dụng ∆S. Tóm tắt những bước trung gian, chúng ta có thể hiểu trực giác bổ đề Ito xử lý phép lấy đạo hàm như thế nào. Những số hạng bậc một vẫn giữ nguyên giống như trong giải thích thông thường. Số hạng (Az)2 là phương sai và không thể bỏ qua. Nó có giá trị kỳ vọng tỷ lệ thuận với khoảng thời gian: E[ (Az)2 ] = Ơ2At. ơ2 là phương sai của thu nhập tài sản, có thể phụ thuộc vào thời gian. Đó là lý do đạo hàm thứ hai theo s vẫn phải giữ nguyên, nhằn với Ơ2At. Cuối cùng, chúng ta làm cho những khoảng thời gian rời rạc tiến tới 0 và thay những thay đổi rời rạc bằng giới hạn của chúng.

số hạng bậc hai


Kết quả cuối cùng là công thức Ito, đưa quá trình của hàm F(Snt) khi biến cơ sở, ví dụ giá cổ phiếu, tuân theo quá trình Ito.
Công thức này trông có vẻ phức tạp nhưng sẽ dễ hơn khi sử dụng dạng đơn giản hóa của nó, sử dụng những ký hiệu.
     Trong khai triển Taylor, các số hạng bậc hai phải được tính tới, sử dụng ∆s. Tóm tắt những bước trung gian, chúng ta có thể hiểu trực giác bổ đề Ito xử lý phép lây đạo hàm
như thế nào. Những số hạng bậc một vẫn giữ nguyên giống như trong giải thích thông thường. Số hạng (Az)2 là phương sai và không thể bỏ qua. Nó có giá trị kỳ vọng tỷ lệ thuận với khoảng thời gian: E[ (Az)2 ] = Ơ2At. ơ2 là phương sai của thu nhập tài sản, có thể phụ thuộc vào thời gian. Đó là lý do đạo hạm thứ hai theo s vẫn phải giữ nguyên, nhằn vói Ơ2At. Cuối cùng, chúng ta làm cho những khoảng thời gian rời rạc tiến tới 0 và thay những thay đổi rời rạc bằng giới hạn của chúng.
Kết quả cuối cùng là công thức Ito, đưa quá trình của hàm F(Snt) khi biên cơ sở, ví dụ giá cổ phiếu, tuân theo quá trình Ito.