Những quá trình ngẫu nhiên chính đã được giải thích. Việc đánh giá và mô phỏng thu nhập dựa vào phân biệt ngẫu nhiên, đặc biệt là bổ đề Ito, để tính toán quá trình của một phát sinh từ quá trình của một tài sản cơ sở khác. Mục tiêu của phần này là để chỉ ra những khác biệt giữa giải tích thông thường và giải tích ngẫu nhiên. Đây là bài tóm tắt ngắn gọn, chủ đề này được mở rộng trong nhiều tài liệu khác.
Giải tích tất định
     Trong giải tích tất định, sự thay đổi nhỏ của một hàm f(x + ∆x) — f (x) có thể được xấp xỉ bởi một hàm số Taylor quanh giá trị X của biến X, miễn là chúng ta có thế tính đạo hàm, là “phản ứng” của hàm đối với một sự thay đổi nhỏ trong biến. Sự thay đổi nhỏ của một hàm phụ thuộc vào thời gian t và một biến tất định z cũng có thể được xấp xỉ bằng cách lấy đạo hàm theo biến X và t của hàm. Khi những biến này thay đổi một lượng nhỏ ∆t và ∆z, sự thay đổi của hàm có thể xấp xỉ bằng hàm tuyến tính của những thay đổi nhỏ này. Phương trình trở nên chính xác khi những sự thay đổi nhỏ của hai biến tiến tới 0.
Công thức khai triển Taylor cho phép xấp xỉ sự thay đổi f(x + ∆x,y + ∆y) — f(x,y) quanh giá trị X và y, sử dụng triền khai bậc một và bậc 2, giả sử là hàm số có thể được lây đạo hàm hai lần.

quá trình ngẫu nhiên


     Trong giải tích thông thường, những số hạng bình phương nhỏ hơn nhiều so với những số hạng bậc một và được bỏ qua do đó có thể chỉ giữ lại những số hạng bậc 1
Điều này không đúng trong giải thích ngẫu nhiên vì bình phương của số hạng “đổi mới’ có kích cỡ của phương sai và không thể bỏ qua.
Giải tích ngẫu nhiên
     Những ký hiệu thông thường sử dụng S’ là giá ngẫu nhiên của một tài sản phụ thuộc vào thời gian và F(S’, t) cho một tài sản khác có giá cơ sở s,. Với thời gian, giá của cả tài sản và phát sinh đều dao động ngẫu nhiên và có những thành phần phụ thuộc vào thời gian. Phát sinh là hàm của hai biến, một trong hai biến là ngẫu nhiên.
    Sự khác biệt lớn nhất của giải tích thông thường và giải tích ngẫu nhiên là biến s ngẫu nhiên và có phương sai không bằng 0. Khai triển bậc hai trở nên rất hữu ích để hiểu điều này. Bắt đầu với khai triển Taylor thông thường, những đạo hàm bậc hai không được bỏ qua. Trong phương trình khai triển Taylor thông thường, X trở thành s, và y thành t.