Độ nhạy là tỷ số giữa sự thay đổi của một biến với sự thay đổi của những thông số cơ sở ngẫu nhiên. Điều này khiến cho độ nhạy là một thước đo rủi ro rất tiện lợi vì chúng liên hệ một biến với nguồn gốc của sự bất trắc ảnh hưởng tới biến đó. Nguồn gốc này có thể là tài sản cơ sở đối với phái sinh hay các tham số thị trường. Chúng được gọi là “nhân tố rủi ro”.
      Công thức khai triển Taylor được giới thiệu ở chương 12, khi giới thiệu bổ đề Ito cho một hàm số với hai biến. Với một biến, công thức đơn giản hóa thành. Sự thay đổi nhỏ của X được viết là Ax. Công thức trên có nghĩa là, với những biến tất định, một sự thay đổi nhỏ của biến dẫn tới sự thay đổi của hàm có thật được xấp xỉ bằng số hạng bậc một của Ax. Một phép xấp xỉ chính xác hơn sẽ sử dụng cả số hạng bậc hai.
     Đạo hàm thứ nhất áp dụng cho Ax là độ nhạy, số hạng bậc hai là sự thay đổi của độ nhạy khi Ax không thể bỏ qua. Đạo hàm bậc hai là đạo hàm bậc một của độ nhạy. Chuỗi Taylor chỉ rõ sự thay đổi giá trị công cụ là một hàm số của những đạo hàm bậc một, hai, ba… Với những thay đổi lớn, nên tính cả những số hạng tiếp theo cao hơn bậc một. Trong tất cả các trường họp, sử dụng các số hạng bậc cao hơn bậc một tạo ra xấp xỉ tốt hơn vì nó bao gồm những mối quan hệ phi tuyên tính giữa giá trị và nhân tố rủi ro.

các nhân tố rủi ro


     Khi những số hạng bậc hai có thể bỏ qua, công cụ được gọi là “tuyến tính” vì sự thay đổi giá trị của nó phụ thuộc tuyên tính vào các nhân tố rủi ro. Quyền chọn là những công cụ phi tuyên tính vì đoạn “gẫy” trong thu nhập khi tài sản cơ sở có giá trị bằng giá thực hiện. Giá trị quyền chọn có những thay đổi “nhẵn” hơn thu nhập vì giá trị thời gian của quyền chọn, nhưng delta sẽ thay đổi đáng kể với giá trị cơ sở.
     Công thức trên có thể được mở rộng với mọi số lượng biến. Ví dụ, nêu ta có hai biến, công thức sẽ mở rộng và nhìn có vẻ phức tạp hơn, nhưng những thay đổi bậc một luôn là những đạo hàm bậc một. Công thức chung với hai biến rất nổi tiếng vì nó là xuất phát điểm cho bổ đề Ito. Trong trường hợp hai biến, hàm số là f(x,y) và khi dịch chuyển X, y một chút từ vị trí ban đầu (JC0 ,y0), thay đổi của hàm số cũng được xấp xỉ bỏi khai triển Taylor. Bây giờ, đạo hàm là các đạo hàm riêng theo một trong hai biến. Hàm số và đạo hàm riêng được tính ớ giá trị ban đầu (x0, y0 ) và Ax = X — x0, Ay = y — y0.