Quá trình trở lại giá trị trung bình thường mô phỏng những quá trình mà không thể trôi quá xa khỏi một giá trị dài hạn.
s, biểu thị một quá trình của một thông số thị trường, thường thì một lãi suất chứ không phải giá cổ phiếu. Một mô hình như vậy không nhất quán với giả thiết thị trường hiệu quả. Giả thiết này ám chỉ thu nhập cổ phiếu độc lập với thu nhập trong quá khứ. Khi s, lớn hơn hằng số μ, độ trôi là số âm, khiên cho những thay đổi âm nhiều khả năng xảy ra hơn. Biến ngẫu nhiên có thể giảm và quay về μ. Nêu S nhỏ hon hằng số μ, độ trôi là số dương, và biến ngẫu nhiên có thể tăng và quay lại ụ,. Tham số fl biểu thị một xu hướng dài hạn. Khi đi lệch khỏi xu hướng dài hạn này, giá tài sản sẽ quay trở lại với xu hướng.
     Độ lệch khỏi xu hướng kéo dài một khoảng thời gian phụ thuộc vào X. a càng cao, thì lực kéo quá trình quay lại tham số dài hạn càng lớn. Do đó, độ lệch kéo dài hơn nếu X nhỏ và ngắn hơn nếu X lớn. Quá trình này áp dụng cho lãi suất bởi vì độ lệch không thể quá lớn như với giá cổ phiếu.

giá trị trung bình


Quá trình “sự kiện hiếm”
     Quá trình bước nhảy được sử dụng để mô phỏng những sự kiện hiếm. Những sự hiếm là những bước nhảy bất thường của giá cổ phiếu. Trong sách này, sự kiện hiếm bao gồm cả những vụ vỡ nợ tuân theo quá trình bước nhảy. Sự kiện hiếm xảy ra bất ngờ và xác suất xảy ra tăng lên với thời gian. Kích cỡ của sự kiện không nhỏ như với phân phối chuẩn thông thường, nhưng xác suất tiến tói 0 khi khoảng thời gian tiến tới 0.
Giả sử sự kiện hiếm là một vụ vỡ nợ. Với giá cổ phiếu, thay đổi ngẫu nhiên được ký hiệu bằng Azt = Z,+A/ — zt. Với một quá trình đếm những sự kiện hiếm, chứng ta dùng Yiị thay cho zt vì nt chỉ nhận những giá trị rời rạc. Xác suất một sự kiện hiếm xảy ra với kích cỡ 1 là ∆t
Biến số n, phù thuộc vào cường độ X. Cường độ và sự kiện không phụ thuộc vào thông tín quá khứ. Một quá trình như vậy dùng để mô phỏng giá trị của một hợp đổng phụ thuộc vào các sự vỡ nợ trong thời gian liên tục.
      Trong một khoảng thời gian, biến ngẫu nhiên nhận những giá trị số nguyên biểu thị cho số lượng các sự kiện hiếm. Xác suất chứng kiên k sự kiện hiếm là phân phối Poisson. Tham số Ả là một số thực dương, bằng với số lượng sự kiện kỳ vọng trong một khoang thời gian, được gọi là cường độ hay tỷ lệ rủi ro. Cường độ thời gian là số lượng sự kiện xảy ra trong một đơn vị thời gian. Phân phối mũ miêu tả thời gian giữa các sự kiện tuân theo quá trình Poisson với tốc độ cố định. Xác suất một sự kiện hiếm xảy ra từ bây giờ tới thời điểm t.