Một quy trình rời rạc ứng với một chuỗi những điểm thời gian, thường gọi là 1,2,3… ở phẩn tiếp theo, R là thu nhập rời rạc và r là thu nhập liên tục. Giữa hai điểm thòi gian kế nhau, một thu nhập rời rạc Ri là sự thay đổi tương đối Ri = (Vị+l — Vi )/Vi. Sau đó, hãy xem xét hai thời điểm liền kề có khoảng cách ΔΔtiến tới 0. Các điểm thời gian được ký hiệu là t + Δtvà t, vói khoảng cách thời gian Δt tiến tới 0. Thay đổi tương đối trở thành thunhập liên tục rt = (Vi+1 – Vt)/Vt khi Δt tiến tới 0.

 Thu nhập rời rạc một kỳ

     Hãy lấy ví dụ thu nhập cổ phiếu. Thu nhập trong khoảng thời gian rời rạc là phần trăm thay đổi giá trị tương đối vào hai thời điểm 0 và 1. Thu nhập một chu kỳ tùy thuộc vào giá trị cuối cùng ngẫu nhiên. Thời điểm ban đầu là 0, và ta biết giá trị ban đầu của cổ phiếu là Vo. Cả giá trị cuối cùng và thu nhập tương đối đều ngẫu nhiên vào thời điềm 1. Thu nhập rời rạc là R(0,1) và giá trị ngẫu nhiên vào cuối giai đoạn là V1. Thu nhập R(0,1) giữa hai ngày được tính bằng:

R(0,1) = (V1-V0)/V0

Nếu bỏ chỉ số của R ta có: Vi = V0 (1 + R) Với thu nhập 1 giai đoạn, phân phối giá trị vào thời điểm 1 tùy vào phân phối thu nhập vì V1 = V0 (1 + R)

Thu nhập rời rạc một kỳ


 Gộp thu nhập rời rạc trong nhiều kỳ

     Hãy nghiên cứu một khoảng thời gian rời rạc và sử dụng phân phối chuẩn để mô phỏng thu nhập. Hạn chế rõ ràng của phương pháp này để mô phỏng thu nhập và giá trị cuối cùng là phân phối chuẩn cho phép một thu nhập ngẫu nhiên có thể có giá trị thấp hơn

-100%, tạo ra những giá trị âm không được cho phép.

Gộp thu nhập rời rạc trong một chuỗi những khoảng thời gian giữa 0 và t, thu nhập R(0,t) từ 0 tới t là:

[1 + R(0,t)] = [1 + R (0,1)][1 + R(1,2)]…[l + R(t -1,t]

Gộp thu nhập rời rạc cố định R trên t khoảng sẽ dẫn đến kết quả cuối cùng là (1+R)t.