Từ thu nhập rời rạc tới liên tục

     Bất kỳ khoảng thời gian nào cũng có thể được chia thành m khoảng nhỏ hơn bằng nhau. Khoảng thời gian có độ dài h được chỉ thành m đoạn bằng nhau thì mỗi đoạn sẽ có chiều dài bằng nhau là Δt = h/m, giá trị cuối cùng ở h gộp thu nhập cố định m lần:

Vh =Vo (1 + R/m)m

    Trong công thức này, R/m là thu nhập rời rạc ứng với khoảng thòi gian Δt  = h/m. Giá trị cuối cùng được tính từ việc gộp m lần thu nhập rời rạc R. Doanh thu từ việc gộp mlần thu nhập của m khoảng nhỏ là: Vh =

VQ (1 + R / m)m

Khi gộp một lần cho 1 năm vói R=10%/năm, giá trị cuối cùng là: 1(1+10%)=1,1. Sau đó, gộp hai lần giá trị ban đầu trong hai khoảng thời gian 6 tháng. Thu nhập tỷ lệ là R/2=5% và giá trị cuối cùng là: 1(1+5%)(1+5%)=1,1025. Kết hợp bốn năm một lần với tỷ lệ R/4=2,5%, kết quả cuối cùng là 1(1+2,5%)4=1/1038.

Thu nhập rời rạc một kỳ


    Khi tần suất tiến tới vô cùng, việc gộp trở nên liên tục, và số lượng những khoảng nhỏ tiến tới vô cùng. Quan hệ chính xác giữa thu nhập rời rạc và thu nhập liên tục được tính bằng lây lim của việc gộp m lần thu nhập rời rạc trên số lượng m khoảng với độ dài h/m, sử dụng thu nhập rời rạc tỷ lệ R/m. Gộp m lần dẫn tới (1+R/m)m. Khi m tiến tới vô cùng, khoảng thời gian Δt = h/m tiến tới 0. Trong công thức, thu nhập rời rạc tỷ lệ tiến tới 0 nhưng được gộp với số lần tiến tới vô cùng.

Giới hạn toán học của công thức (1+R/m)m khi m tiến tới vô cùng là exp(r). Khi m tiến tới vô cùng, giới hạn của biểu thức tiến tới một giới hạn, theo công thức toán học: lim(l+x/m)m —>xp(r). Thay X bằng R:

lim(l+R/m)m —► exp(R/m) —» exp(r) khi m—> vô cùng

    Công thức gộp liên tục này sử dụng tỷ lệ liên tục r, khi số các khoảng nhỏ m tiến tới vô cùng, được định nghĩa từ giới hạn của vế trái trong phương trình trên.

Tỷ lệ liên tục r thỏa mãn exp(r)= lim(1+x/m)m khi m-» vô cùng có thể được tính toán dễ dàng trong trường hợp một năm. Bắt đầu với tỷ lệ rời rạc hàng năm R=10%, giá trị của r thỏa mãn những giá trị cuối cùng giống nhau là:

exp(r)=1+R=1+10%

Tỷ lệ liên tục r tương đương với tỷ lệ một năm R là 9,531% vì exp(9,531%)=l,l. Giá trị này xuất phát từ định luật toán học: nếu y=ln(x) thì x=exp(y). Lây logarit Nepẹr của phương trình trên dẫn tới:

r = ln(1 + R) = ln(1 +10%) = 9,531%

Công thức chung có thề sử dụng bất kỳ thời gian t nào. Giả sử thu nhập cố định, giá trị tương lai của 1 vào thời điểm t là (1+R)t với thu nhập rời rạc, khi R ứng với đơn vị thời gian và exp(rt) với thu nhập liên tục.

Công thức có thể áp dụng với thu nhập thay đổi theo thòi gian. Nếu tính tất cả những ngày trung gian u giữa 0 và t.