Xác suất kết hợp và xác suất điều kiện là một thước đo nữa của tính phụ thuộc. Xác suất kết hợp của hai sự kiện là xác suất hai sự kiện đó xảy ra cùng nhau. Xác suất kết hợp chi đơn giản là tích của xác suất của mỗi sự kiện nếu chúng độc lập với nhau. Nó sẽ cao hơn nêu các sự kiện có xu hướng xảy ra đồng thời và thấp hơn nhiều nếu khả năng một sự kiện xảy ra tỷ lệ nghịch với khá năng sự kiện còn lại xảy ra. Xác suất kết hợp và xác suất điểu kiện là hai mặt của cùng một đồng xu. Xác suất điều kiện là xác suất tùy vào một sự kiện nào đó. Có nhiều ví dụ cho khái niệm này.

        Ví dụ, vỡ nợ trong một ngành công nghiệp phụ thuộc vào ngành công nghiệp đang phát triển thuận lợi hay khó khăn. Xác suất điểu kiện cao hơn xác suất không điểu kiện, khi sự kiện tạo điêu kiện tăng xác suất của sự kiện còn lại. Trong trường hợp này, giữa hai sự kiện có tính phụ thuộc dương. Ngược lại, một xác suất điếu kiện thấp hơn xác suất vô điều kiện nếu tình huống tạo điều kiện làm cho xác suất sự kiện kia xảy ra thấp hơn.

Kinh tế



        Các hàm copula hiện tại là cách tốt nhất đế phản ánh tính phụ thuộc. Không giống như tương quan, chúng không phải là nhũng thước đo tuyến tính. Chúng khá giống tương quan thứ hạng. Hàm copula có một quan hệ trực tiếp với tương quan thứ hạng. Hàm copula phán ánh xác suất những sự kiện kết hợp, ví dụ như xác suất kếthợp của đi lên và đi xuống.

         Hãy xem xét hai biến ngẫu nhiên X vàY. Hàm copula là xác suất kết hợp X sẽ nhỏ hơn hoặc băng giá trị Xvà Y thấp hơn hoặc băng giá trị y. Theo ký hiệu xác suất,hàm copula được viết là P(X < X,Y < y) . Xác suất kết hợp đưa ra một cái nhìn trực quan về hàm copula phức tạp hơn được thảo luận tiếp theo. Hàm mật độ copula, không được nhẩm lẫn với hàm copula, là tỷ số giữa xác suất kết hợp nêu hai sự kiện độc lập với xác suất kết hợp khi chúng phụ thuộc. Mật độ copula giống như phép đo tương đối của tính phụ thuộc sử dụng sự độc lập làm trường hợp tiêu chuẩn.

        Trong phần lớn những ứng dụng của mô phỏng thu nhập và rủi ro danh mục đầu tư, cách làm truyền thống phụ thuộc vào phân phối chuẩn vì những đặc tính hấp dẫn của nó. Nhưng phân phối chuẩn không khớp với phân phôi thu nhập. Hàm copula cho phép những phân phối khác ví dụ như phân phối Pareto, có đuôi dày hơn, giống như ta thấy ở thị trường. Một số biến ngẫu nhiên không tuân theo phân phôi chuẩn hay đổi xứng. Ví dụ, mô hình cường độ vỡ nợ đo lường thời gian trôi qua cho tới vụ vỡ nợ đầu tiên. Phân phối tương ứng là phân phối mũ. Đo lường tính phụ thuộc trên phân phối mũ là một điều đơn giản với hàm copula, về bản chất, phân phối copula cho phép mô phỏng tính phụ thuộc tách rời khỏi phân phối cơ sở của các biên.