Phương sai đo lường mức độ các biến ngẫu nhiên thay đổi cùng nhau hay không, theo cùng hướng hay ngược hướng. Hai chỉ số miêu tả sự tương hợp này: hệ số tương quan và hiệp phương sai cho mỗi cặp biến ngẫu nhiên. Hiệp phương sai là tổng gia trọng của tích độ lệch khỏi trung bình của hai biên X và Y. Trọng số là xác suất kết hợp của một cặp hai giá trị xảy ra cùng nhau. Hệ số tương quan dễ hiểu hơn vì nó nằm trong khoảng -1 tới +1. Nó được tính là tỷ số giữa hiệp phương sai với tích của phương sai của X và Y. Giá trị +1 có nghĩa là hai biến thay đổi cùng nhau. Tương quan -1 có nghĩa là chúng luôn thay đổi theo hai hướng trái ngược. Tương quan bằng không nghĩa là chúng độc lập với nhau.

        Các ký hiệu và công thức như sau: hiệp phương sai giữa hai biên ngẫu nhiên X và Y là ơXy. Nó liên quan với hệ số tương quan giữa hai biến bằng công thức:

           ơxy=pxyơxơy

Tương quan giữa hai biên X và Y là Pjy và ơxylà độ lệch chuẩn của X và Y.

Kinh tế



Tương quan và độ biến động của một tổng các biến ngẫu nhiên

        Độ biên động của một tổng phụ thuộc vào tương quan giữa các biên. Nó là căn bậc hai của phương sai. Phương sai của một tổng là tổng các phương sai của mỗi biên ngẫu nhiên cộng với những số hạng hiệp phương sai của mỗi cặp biên. Bắt đầu với hai biên ngẫu nhiên, công thức phương sai của tổng là:

V(X + Y) = ơ2 (X + Y) = V(X) + VỢ) + 2 Cov(X, Y)

V(X + Y) = ơ’ (X) + ơ/Y) + 2 pxyơ{X)ơ{Y)

       Hiệp phương sai giữa X và y là Cov(X,Y). V(x) là phương sai của X, bằng ơ1 (X), ơ(X) là độ lệch chuẩn và PXy là hệ số tương quan. Độ biên động là căn bậc hai của phương sai. Vì hiệp phương sai là một hàm số của hệ số tương quan, hai công thức trên tương đương nhau. Nếu hiệp phương sai khác không, phương sai của tổng (không gia trọng) khác tổng các phương sai. Số hạng tương quan bằng không chỉ nêu hai biên độc lập với nhau và những công thức trên tối giản thành:

V(X + Y) = ơ(X)+ơ2(Y)

ơ(X + r) = Vơ2W + ơ2(y)

      Phương sai của tổng trở thành tổng của phương sai chỉ khi hiệp phương sai bằng không, tức là các biên độc lập với nhau.